চতুর্থ অধ্যায়ঃ অসীম শ্রেণি ( Infinite Series )

চতুর্থ অধ্যায়ঃ অসীম শ্রেণি ( Infinite Series )

 

সূচনা ( Introduction )

            আমরা জানি শ্রেণি দুই প্রকারের হয়। (১) সসীম শ্রেণি ( Finite Series ) এবং (২) অসীম শ্রেণি ( Infinite Series )। 

          যেসব শ্রেণির পদসংখ্যা সসীম ( finite ) তাদের সসীম শ্রেণি বলে। অন্যভাবে যেসব শ্রেণির পদসংখ্যা অসংখ্য বা অসীম তাদের অসীম শ্রেণি বলে। আমরা যেসব শ্রেণি নিয়ে পূর্বে আলোচনা করেছি তা হল সসীম শ্রেণি। 

                               সাধারণত একটি সসীম শ্রেণিকে [tex]{u_1} + {u_2} + {u_3} + ..............{u_n}[/tex] এবং একটি অসীম শ্রেণিকে [tex]{u_1} + {u_2} + {u_3} + ..............{u_n} + ...............\infty [/tex] আকারে প্রকাশ করা হয়। যেখানে [tex]{u_n}[/tex] হল n তম পদ। 

    স্পষ্টতই , একটি সসীম শ্রেণির নির্দিষ্ট সংখ্যক পদের সমষ্টি সর্বদা একটি সসীম রাশি হবে , কিন্তু একটি অসীম শ্রেণির পদগুলির সমষ্টির মান সসীম বা অসীম দুই হতে পারে। 

       এই অধ্যায়ে আমরা চার প্রকার অসীম শ্রেণি সম্পর্কে আলোচনা করবো। 

1. অসীম গুণোত্তর শ্রেণি ( Infinite Geometric Series )
2. সাধারণ আকারে দ্বিপদ উপপাদ্য ( Binomial Theorem in General Form)
3. সূচক শ্রেণি ( Exponential Series )
4. লগারিদম শ্রেণি ( Logarithmic Series )

                                                অসীম গুণোত্তর শ্রেণি ( Infinite Geometric Series )

                                       [tex]a + ar + a{r^2} + ............ + a{r^{n - 1}} + ............\infty [/tex]..............(i)

উপরের আকারে অসীম গুণোত্তর শ্রেণিকে প্রকাশ করা হয়। a হল প্রথম পদ এবং r হল সাধারণ অনুপাত। 

[tex]{S_n}[/tex] যদি (i) এর n সংখ্যক ( n সসীম সংখ্যক পদসংখ্যা ) পদের যোগফলকে সূচিত করে , তবে 

[tex]{S_n} = a\frac{{1 - {r^n}}}{{1 - r}} = \frac{a}{{1 - r}} - \frac{{a{r^n}}}{{1 - r}}[/tex]

n এর মান যখন অসীম হয় তখন তাকে গাণিতিক প্রতীকের সাহায্যে নিম্নলিখিত ভাবে প্রকাশ করা হয় 

[tex]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{a}{{1 - r}} - \frac{{a{r^n}}}{{1 - r}}} \right)[/tex]

r এর মানের উপর অসীম শ্রেণির যোগফলের মান বিভিন্ন হতে পারে। 

(১) যখন r প্রকৃত ভগ্নাংশ [tex]\left( { - 1 < r < 1} \right)[/tex]

r প্রকৃত ভগ্নাংশ হলে , [tex]{r^n}[/tex] এবং শুন্য এর মধ্যে যে পার্থক্য হয় তা যেকোন ক্ষুদ্র ধনাত্মক সংখ্যা হোক , তার থেকেও ক্ষুদ্র করা যায় , যদি n এর মান যথেষ্ট বৃহৎ সংখ্যা ধরা হয়। 

অতএব   [tex]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {r^n} = 0[/tex] যখন [tex]\left( { - 1 < r < 1} \right)[/tex]

সুতরাং , [tex]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = \frac{a}{{1 - r}}[/tex]

সুতরাং যখন [tex]\left( { - 1 < r < 1} \right)[/tex] তখন অসীম গুণোত্তর শ্রেণির যোগফলের অস্তিত্ব আছে এবং এর মান

= [tex]\frac{a}{{1 - r}}[/tex]

(২) যখন r প্রকৃত ভগ্নাংশ নয় ( r > 1বা, r< -1 )

যদি r > 1 এবং r < -1 হয় , তবে n এর যে কোন বৃহৎ মানের জন্য [tex]{r^n}[/tex] এর মান আমাদের কল্পনার সম্ভব যেকোন মানের থেকে বৃহৎ হবে। সেজন্য n এর মান অসীমের দিকে অগ্রসর হলে [tex]{r^n}[/tex] এর মান কোনো নির্দিষ্ট অসীমের দিকে অগ্রসর হয়। সুতরাং n অসীমের দিকে অগ্রসর হলে [tex]{S_n}[/tex] এর কোনো সসীম মান পাওয়া যায় না। 

সুতরাং যদি r > 1 এবং r < -1 হয় তাহলে অসীম গুণোত্তর শ্রেণির কোনো যোগফল নেই। 

সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )

(i)  r প্রকৃত ভগ্নাংশ অর্থাৎ [tex]\left( { - 1 < r < 1} \right)[/tex] হলে ,

[tex]a + ar + a{r^2} + ..........\infty  = \frac{a}{{1 - r}}[/tex] হবে। 

বিশেষ ক্ষেত্রে a = 1 হলে , [tex]1 + r + {r^2} + ..........\infty  = \frac{1}{{1 - r}}[/tex] হবে। 

(ii)  r প্রকৃত ভগ্নাংশ না হলে r > 1 এবং r < -1 এর জন্য [tex]a + ar + a{r^2} + ..........\infty [/tex]

কোনো যোগফল নেই। 

উদাহরণ 1. [tex]0.\dot 3\dot 6[/tex] এই আবৃত্ত দশমিককে মূলদ সংখ্যায় প্রকাশ করো। 

সমাধান : 

[tex]\begin{array}{l}
0.\dot 3\dot 6\\
 = 0.363636.........\infty \\
 = 0.36 + 0.0036 + 0.000036 + ...........\infty \\
 = \frac{{36}}{{{{10}^2}}} + \frac{{36}}{{{{10}^4}}} + \frac{{36}}{{{{10}^6}}} + ..............\infty 
\end{array}[/tex]

[ এটি একটি অসীম গুণোত্তর শ্রেণি। যার প্রথম পদ হল [tex]\frac{{36}}{{{{10}^2}}}[/tex] এবং সাধারণ অনুপাত হল [tex]\frac{1}{{{{10}^2}}}[/tex] .স্পষ্টতই [tex] - 1 < \frac{1}{{{{10}^2}}} < 1[/tex].]

[tex] = \frac{{\frac{{36}}{{{{10}^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{{{10}^2}}}}} = \frac{{36}}{{100}} \times \frac{{100}}{{99}} = \frac{4}{{11}}[/tex]

 

উদাহরণ 2. [tex]{S_1},{S_2},{S_3},..........{S_n}[/tex] যদি n সংখ্যক অসীম গুণোত্তর শ্রেণির যোগফল হয় , যাদের প্রথম পদ যথাক্রমে 1 , 2 , 3 , .......,n এবং সাধারণ অনুপাত যথাক্রমে [tex]\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},........,\frac{1}{{n + 1}}[/tex] হয় তবে দেখাও যে,

[tex]{S_1} + {S_2} + {S_3} + ............... + {S_n} = \frac{{n\left( {n + 3} \right)}}{2}[/tex]

সমাধান : [tex]{S_1}[/tex] হল একটি অসীম গুণোত্তর শ্রেণির যোগফল যার প্রথম পদ হল 1 এবং সাধারণ অনুপাত হল [tex]\frac{1}{2}[/tex]. স্পষ্টতই [tex] - 1 < \frac{1}{2} < 1[/tex] .

অতএব [tex]{S_1} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2[/tex]

 আবার [tex]{S_2}[/tex] হল একটি অসীম গুণোত্তর শ্রেণির যোগফল যার প্রথম পদ হল 2 এবং সাধারণ অনুপাত হল [tex]\frac{1}{3}[/tex]. স্পষ্টতই [tex] - 1 < \frac{1}{3} < 1[/tex] .

অতএব [tex]{S_2} = \frac{2}{{1 - \frac{1}{3}}} = 3[/tex]

অনুরূপে [tex]{S_3} = 4,{S_4} = 5,............,{S_n} = n + 1[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
{S_1} + {S_2} + {S_3} + ................. + {S_n}\\
 = 2 + 3 + 4 + ............ + \left( {n + 1} \right)\\
 = \frac{n}{2}\left( {2 + n + 1} \right) = \frac{{n\left( {n + 3} \right)}}{2}
\end{array}[/tex]

 

উদাহরণ 3. যদি [tex]x = 1 + a + {a^2} + .............\infty [/tex] এবং [tex]y = 1 + b + {b^2} + .............\infty [/tex] হয় , তবে প্রমাণ করো যে 

[tex]1 + ab + {a^2}{b^2} + .............\infty  = \frac{{xy}}{{x + y - 1}}[/tex]

যখন [tex]\left( { - 1 < a < 1} \right)[/tex] এবং [tex]\left( { - 1 < b < 1} \right)[/tex] .

সমাধান : [tex]x = 1 + a + {a^2} + .............\infty [/tex] এটি একটি অসীম গুণোত্তর শ্রেণি। যেখানে প্রথম পদ =1 এবং সাধারণ অনুপাত = a  প্রশ্নানুযায়ী [tex]\left( { - 1 < a < 1} \right)[/tex] .

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
x = 1 + a + {a^2} + ........\infty \\
 \Rightarrow x = \frac{1}{{1 - a}}\\
 \Rightarrow 1 - a = \frac{1}{x}\\
 \Rightarrow a = 1 - \frac{1}{x} = \frac{{x - 1}}{x}
\end{array}[/tex]

 [tex]y = 1 + b + {b^2} + .............\infty [/tex] এটি একটি অসীম গুণোত্তর শ্রেণি। যেখানে প্রথম পদ =1 এবং সাধারণ অনুপাত = b  প্রশ্নানুযায়ী [tex]\left( { - 1 < b < 1} \right)[/tex] .

অনুরূপে আমরা প্রমাণ করতে পারি [tex]b = \frac{{y - 1}}{y}[/tex].

এখন দেখা যাচ্ছে [tex]1 + ab + {a^2}{b^2} + .............\infty [/tex] একটি অসীম গুণোত্তর শ্রেণি , যার প্রথম পদ = 1এবং সাধারণ অনুপাত = ab . প্রশ্নানুসারে [tex]\left( { - 1 < a < 1} \right)[/tex] এবং [tex]\left( { - 1 < b < 1} \right)[/tex] .সুতরাং  [tex]\left( { - 1 < ab < 1} \right)[/tex] হবে। 

অতএব 

[tex]1 + ab + {a^2}{b^2} + ........\infty  = \frac{1}{{1 - ab}}[/tex]

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{1}{{1 - ab}}\\
 = \frac{1}{{1 - \left( {\frac{{x - 1}}{x}} \right)\left( {\frac{{y - 1}}{y}} \right)}}\\
 = \frac{1}{{\frac{{xy - \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)}}{{xy}}}}\\
 = \frac{{xy}}{{xy - xy + x + y - 1}}\\
 = \frac{{xy}}{{x + y - 1}}
\end{array}[/tex]

সুতরাং প্রমাণিত যে [tex]1 + ab + {a^2}{b^2} + .............\infty  = \frac{{xy}}{{x + y - 1}}[/tex].

 

                                        সাধারণ আকারে দ্বিপদ উপপাদ্য ( Binomial Theorem in General Form)

n যেকোন বাস্তব সংখ্যা এবং x এর মানের সীমা ( -1 < x < 1 ) হলে , 

[tex]\begin{array}{l}
{\left( {1 + x} \right)^n} = 1 + n \cdot x + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2!}} \cdot {x^2} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{{3!}} \cdot {x^3} + ..........\\
......... + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)......\left( {n - r + 1} \right)}}{{r!}} \cdot {x^r} + .......\infty ........(i)
\end{array}[/tex]

(১)  n এর মান ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা হলে 

n ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা হলে , প্রথম (n + 1) সংখ্যক পদ ছাড়া পরবর্তী সমস্ত পদের মান শুন্য হবে , কারণ (i) থেকে দেখা যাচ্ছে যে ডানপক্ষে (r + 1) তম ও পরবর্তী প্রত্যেক পদে (n - r + 1) উৎপাদকটি থাকে এবং এই উৎপাদকের মান শুন্য হবে যদি r = n +1 হয়। অবশ্য এক্ষেত্রে বিস্তৃতির সব মানেই সত্য , কারণ বিস্তৃতির পদসংখ্যা সসীম। 

(২)  n এর মান ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা না হলে 

n ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা না হয়ে যদি ভগ্নাংশ ( ধনাত্মক বা ঋণাত্মক )হয় , অথবা ঋণাত্মক অখন্ড সংখ্যা হলে (i) বিস্তৃতি অসীম পর্যন্ত অগ্রসর হয়, কারণ বিস্তৃতির ডানপক্ষে কোনো পদের মান শুন্য হবে না , যেহেতু r এর সবসময় কেবল ধনাত্মক অখন্ড মান হয়। সুতরাং বিস্তৃতির অসীম পর্যন্ত সীমাস্থ মান [tex]{\left( {1 + x} \right)^n}[/tex] ; সুতরাং এটি অভিসারী শ্রেণি যখন ( -1 < x < 1 ) 

সুতরাং n ঋণাত্মক অখন্ড সংখ্যা বা ভগ্নাংশ হলে 

[tex]\begin{array}{l}
{\left( {1 + x} \right)^n} = 1 + n \cdot x + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2!}} \cdot {x^2} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{{3!}} \cdot {x^3} + ..........\\
......... + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)......\left( {n - r + 1} \right)}}{{r!}} \cdot {x^r} + .......\infty ........(i)
\end{array}[/tex]

যেখানে ( -1 < x < 1 ) .

 

কয়েকটি প্রয়োজনীয় বিস্তৃতি ( Some useful Expansions )

1. [tex]{\left( {1 - x} \right)^{ - 1}} = 1 + x + {x^2} + {x^3} + ...........\infty [/tex]
2. [tex]{\left( {1 + x} \right)^{ - 1}} = 1 - x + {x^2} - {x^3} + ...........\infty [/tex]
3. [tex]{\left( {1 - x} \right)^{ - 2}} = 1 + 2x + 3{x^2} + 4{x^3} + ...........\infty [/tex]
4. [tex]{\left( {1 + x} \right)^{ - 2}} = 1 - 2x + 3{x^2} - 4{x^3} + ...........\infty [/tex]
5. [tex]{\left( {1 - x} \right)^{ - n}} = 1 + nx + \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2!}}{x^2} + \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{3!}}{x^3} + ...........\infty [/tex]
6. [tex]{\left( {1 + x} \right)^{ - n}} = 1 - nx + \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2!}}{x^2} - \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{3!}}{x^3} + ...........\infty [/tex]

সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )

(i)  n এর মান ঋণাত্মক অখন্ড সংখ্যা বা ভগ্নাংশ ( ধনাত্মক বা ঋণাত্মক )হলে ,

[tex]\begin{array}{l}
{\left( {1 + x} \right)^n} = 1 + n \cdot x + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2!}} \cdot {x^2} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{{3!}} \cdot {x^3} + ..........\\
......... + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)......\left( {n - r + 1} \right)}}{{r!}} \cdot {x^r} + .......\infty
\end{array}[/tex]

যেখানে ( -1 < x < 1 ) 

(ii)  বিস্তৃতির সাধারণ পদ = ( r + 1 ) তম পদ = [tex]{t_{r + 1}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right).....\left( {n - r + 1} \right)}}{{r!}} \cdot {x^r}[/tex]

 

উদাহরণ 1. [tex]{\left( {4 + 3a} \right)^{\frac{3}{2}}}[/tex] চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি নির্ণয় করো। 

সমাধান : 

[tex]\begin{array}{l}
{\left( {4 + 3a} \right)^{\frac{3}{2}}}\\
 = {\left\{ {4\left( {1 + \frac{{3a}}{4}} \right)} \right\}^{\frac{3}{2}}}\\
 = {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}\left( {1 + \frac{3}{2} \cdot \frac{{3a}}{4} + \frac{{\frac{3}{2}\left( {\frac{3}{2} - 1} \right)}}{{2!}}{{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^2} + \frac{{\frac{3}{2}\left( {\frac{3}{2} - 1} \right)\left( {\frac{3}{2} - 2} \right)}}{{3!}}{{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^3} + ........\infty } \right)\\
 = {2^3}\left( {1 + \frac{{9a}}{8} + \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{{9{a^2}}}{{16}} + \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{6} \cdot \frac{{27{a^3}}}{{64}} + ........\infty } \right)\\
 = 8\left( {1 + \frac{{9a}}{8} + \frac{3}{8} \cdot \frac{{9{a^2}}}{{16}} - \frac{3}{{48}} \cdot \frac{{27{a^3}}}{{64}} + ........\infty } \right)\\
 = 8 + 9a + \frac{{27}}{{16}}{a^2} - \frac{{27}}{{128}}{a^3} + ........\infty 
\end{array}[/tex]

 

উদাহরণ 2. কোন শর্ত সিদ্ধ হলে [tex]{\left( {1 - 2x} \right)^{ - \frac{1}{2}}}[/tex] কে x এর ঘাতের উর্ধক্রমে বিস্তৃত করা সম্ভব ? শর্তটি সিদ্ধ হলে দেখাও যে , এই বিস্তৃতির ( r + 1 ) তম পদ হয় , 

[tex]\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ...............\left( {2r - 1} \right)}}{{r!}} \cdot {x^r}[/tex]                       [H.S.  '90]

সমাধান : [tex]{\left( {1 - 2x} \right)^{ - \frac{1}{2}}}[/tex] কে x এর ঘাতের উর্ধক্রমে বিস্তৃত করার শর্ত হল 

[tex]\left| {2x} \right| < 1 \Rightarrow \left| x \right| < \frac{1}{2} \Rightarrow  - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}[/tex]

উপরের শর্ত সিদ্ধ হলে  [tex]{\left( {1 - 2x} \right)^{ - \frac{1}{2}}}[/tex] এর বিস্তৃতিতে ( r + 1 ) তম পদ হবে 

[tex]\begin{array}{l}
{t_{r + 1}} = \frac{{ - \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2} - 1} \right)\left( { - \frac{1}{2} - 2} \right).......\left( { - \frac{1}{2} - r + 1} \right)}}{{r!}} \cdot {\left( { - 2x} \right)^r}\\
 \Rightarrow {t_{r + 1}} = \frac{{ - \frac{1}{2}\left( { - \frac{3}{2}} \right)\left( { - \frac{5}{2}} \right)........\left( {\frac{{ - 1 - 2r + 2}}{2}} \right)}}{{r!}} \cdot {\left( { - 2x} \right)^r}\\
 = \frac{{1 \cdot 3 \cdot 5..........\left( {2r - 1} \right)}}{{r!}} \cdot {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^r} \cdot {\left( { - 2x} \right)^r}\\
 = \frac{{1 \cdot 3 \cdot 5..........\left( {2r - 1} \right)}}{{r!}} \cdot {x^r}
\end{array}[/tex]

( প্রমাণিত )

 

উদাহরণ 3. সমষ্টি নির্ণয় করো [tex]\frac{5}{{3 \cdot 6}} + \frac{{5 \cdot 7}}{{3 \cdot 6 \cdot 9}} + \frac{{5 \cdot 7 \cdot 9}}{{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12}} + ..........\infty [/tex]

সমাধান : 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{5}{{3 \cdot 6}} + \frac{{5 \cdot 7}}{{3 \cdot 6 \cdot 9}} + \frac{{5 \cdot 7 \cdot 9}}{{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12}} + ..........\infty \\
 = \frac{1}{3}\left\{ {\frac{{3 \cdot 5}}{{3 \cdot 6}} + \frac{{3 \cdot 5 \cdot 7}}{{3 \cdot 6 \cdot 9}} + \frac{{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}}{{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12}} + ........\infty } \right\}\\
 = \frac{1}{3}\left\{ {\frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2}}}{2}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2}}}{6}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} + \frac{{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{9}{2}}}{{24}}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^4} + ......\infty } \right\}\\
 = \frac{1}{3}\left\{ {1 + \left( {\frac{3}{2}} \right) \cdot \left( {\frac{2}{3}} \right) + \frac{{\frac{3}{2}\left( {\frac{3}{2} + 1} \right)}}{{2!}}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + \frac{{\frac{3}{2}\left( {\frac{3}{2} + 1} \right)\left( {\frac{3}{2} + 2} \right)}}{{3!}}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} + \frac{{\frac{3}{2}\left( {\frac{3}{2} + 1} \right)\left( {\frac{3}{2} + 2} \right)\left( {\frac{3}{2} + 3} \right)}}{{4!}}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^4} + .....\infty  - 1 - \left( {\frac{3}{2}} \right) \cdot \left( {\frac{2}{3}} \right)} \right\}\\
 = \frac{1}{3}\{ {\left( {1 - \frac{2}{3}} \right)^{ - \frac{3}{2}}} - 1 - 1\} \\
 = \frac{1}{3}\{ {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - \frac{3}{2}}} - 2\} \\
 = \frac{1}{3}\left\{ {{3^{\frac{3}{2}}} - 2} \right\}\\
 = \frac{1}{3}\left\{ {3\sqrt 3  - 2} \right\}
\end{array}[/tex]

 

                                                                সূচক শ্রেণি ( Exponential Series )

আমরা জানি 

[tex]\begin{array}{l}
{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2!}} \cdot \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{{3!}} \cdot \frac{1}{{{n^3}}} + ........\\
 = 1 + 1 + \frac{1}{{2!}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) + \frac{1}{{3!}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) \cdot \left( {1 - \frac{2}{n}} \right) + ........
\end{array}[/tex]

এটি একটি অভেদ n এর সব মানে এটি সত্য। যখন n অসীমের দিকে অগ্রসর হয় তখন অভেদটির সীমাস্থ মান হয় 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {1 + 1 + \frac{1}{{2!}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) + \frac{1}{{3!}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) \cdot \left( {1 - \frac{2}{n}} \right) + ........} \right\}\\
 = 1 + 1 + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + .........
\end{array}[/tex]

যা একটি অসীম শ্রেণি। এই অসীম শ্রেণিকে সাধারণত e অক্ষর দ্বারা সূচিত করা হয়। একে e শ্রেণি বলে। 

[tex]e = 1 + \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + .........[/tex]................(i)

e শ্রেণির দুটি বৈশিষ্ট্য আছে 

1. e এর মান সসীম ও 2 এবং 3 এর মধ্যবর্তী। 
2. e একটি অমেয় রাশি ( incommensurable number ) বা অমূলদ রাশি ( irrational number ).

বৈশিষ্ট্য দুটির প্রমাণ ( Proof of the properties )

e এর মান সসীম ও 2 এবং 3 এর মধ্যবর্তী

প্রমাণ : আমরা জানি [tex]e = 1 + \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + .........[/tex].

অতএব e = 2 + ধনাত্মক রাশি সমূহের সমষ্টি , সুতরাং e > 2

এখন [tex]\frac{1}{{3!}} = \frac{1}{6} < \frac{1}{{{2^2}}},\frac{1}{{4!}} = \frac{1}{{24}} < \frac{1}{{{2^3}}}....[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
e < 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ............\\
 \Rightarrow e < 1 + \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 + 2 = 3
\end{array}[/tex]

দেখা যাচ্ছে 2 < e < 3 

e একটি অমেয় রাশি ( incommensurable number  ) বা অমূলদ রাশি ( irrational number )

প্রমাণ : যদি সম্ভব হয় ধরা যাক e একটি প্রমেয় রাশি ( commensurable number ) বা মূলদ রাশি ( rational number ). মনে করি [tex]e = \frac{m}{n}[/tex], যেখানে m ও n হল ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা এবং [tex]n \ne 0[/tex].

অতএব [tex]\frac{m}{n} = 1 + \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + ........ + \frac{1}{{n!}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)!}} + ......[/tex]

উভয়পক্ষে n! গুণ করে পাই 

[tex]m \cdot \left( {{n -1}!} \right) = n! + \frac{{n!}}{{1!}} + \frac{{n!}}{{2!}} + \frac{{n!}}{{3!}} + ....1 + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + .......[/tex]

[tex]\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + .......[/tex]=একটি অখণ্ড সংখ্যা। ....(ii)

[ [tex]m \cdot \left( {n - 1} \right)![/tex] একটি অখন্ড সংখ্যা এবং [tex]n! + \frac{{n!}}{{1!}} + \frac{{n!}}{{2!}} + \frac{{n!}}{{3!}} + ....1[/tex] রাশিটি একটি অখন্ড সংখ্যা। তাই দুটি রাশির অন্তরও একটি অখন্ড সংখ্যা হবে ]

এখন , [tex]\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + ............ > \frac{1}{{n + 1}}[/tex] যেহেতু প্রত্যেক পদ ধনাত্মক। 

আবার

 [tex]\begin{array}{l}
\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} + ............\\
 < \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^3}}} + ......
\end{array}[/tex]

অর্থাৎ 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} + ............\\
 < \frac{{\frac{1}{{n + 1}}}}{{1 - \frac{1}{{n + 1}}}} = \frac{1}{n}
\end{array}[/tex]

সুতরাং (ii) [tex]\frac{1}{{n + 1}}[/tex] ও [tex]\frac{1}{n}[/tex] এর মধ্যবর্তী। অতএব (ii) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং একটি অখন্ড সংখ্যার মধ্যবতী , যা সম্ভব নয়। তাই e একটি প্রমেয় বা মূলদ রাশি হতে পারেনা। e একটি অমেয় রাশি। 

 

সূচক শ্রেণি ( Exponential Series )

[tex]{e^x} = 1 + \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ........... + \frac{{{x^r}}}{{r!}} + .....\infty [/tex]

উপরের অসীম শ্রেণিটিকে সূচক শ্রেণি বলে। 

অভেদটির প্রমাণ 

[tex]\begin{array}{l}
{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{nx}} = 1 + nx \cdot \frac{1}{n} + \frac{{nx \cdot \left( {nx - 1} \right)}}{{2!}} \cdot \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{{nx \cdot \left( {nx - 1} \right) \cdot \left( {nx - 2} \right)}}{{3!}} \cdot \frac{1}{{{n^3}}} + .......\infty \\
 \Rightarrow {\left\{ {{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right\}^x} = 1 + x + \frac{{x \cdot \left( {x - \frac{1}{n}} \right)}}{{2!}} + \frac{{x \cdot \left( {x - \frac{1}{n}} \right) \cdot \left( {x - \frac{2}{n}} \right)}}{{3!}} + ......\infty 
\end{array}[/tex]

এখন [tex]n \to \infty [/tex] হলে [tex]{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} \to e[/tex] আগেই প্রমাণ হয়েছে। 

অতএব n অসীমের দিকে অগ্রসর হলে আমরা পাই 

[tex]\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left\{ {{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right\}^x} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \{ 1 + x + \frac{{x \cdot \left( {x - \frac{1}{n}} \right)}}{{2!}} + \frac{{x \cdot \left( {x - \frac{1}{n}} \right) \cdot \left( {x - \frac{2}{n}} \right)}}{{3!}} + ......\infty \} \\
 \Rightarrow {\left\{ {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right\}^x} = 1 + \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}}.......\infty \\
 \Rightarrow {e^x} = 1 + \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}}.......\infty 
\end{array}[/tex]

 

[tex]{a^x}[/tex] এর বিস্তৃতি ( Expansion of [tex]{a^x}[/tex] )

মনে করি [tex]{\log _e}a = m \Rightarrow {e^m} = a[/tex]

[tex]\begin{array}{l}
{a^x} = {\left( {{e^m}} \right)^x} = {e^{mx}} = 1 + \frac{{mx}}{{1!}} + \frac{{{{\left( {mx} \right)}^2}}}{{2!}} + \frac{{{{\left( {mx} \right)}^3}}}{{3!}} + .......\infty \\
 \Rightarrow {a^x} = 1 + \frac{{({{\log }_e}a)}}{{1!}} \cdot x + \frac{{{{\left( {{{\log }_e}a} \right)}^2}}}{{2!}} \cdot {x^2} + \frac{{{{\left( {{{\log }_e}a} \right)}^3}}}{{3!}} \cdot {x^3} + .......\infty 
\end{array}[/tex]

 

সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )

1. x এর সব মানে ,

[tex]\begin{array}{l}
{e^x} = 1 + \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + .......... + \frac{{{x^r}}}{{r!}} + .....\infty \\
{e^{ - x}} = 1 - \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ......... + {\left( { - 1} \right)^r} \cdot \frac{{{x^r}}}{{r!}} + ......\infty 
\end{array}[/tex]

2.

[tex]\begin{array}{l}
(i)e = 1 + \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + ..........\infty \\
(ii){e^{ - 1}} = 1 - \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} - \frac{1}{{3!}} + ...........\infty 
\end{array}[/tex]

3. [tex]{a^x} = 1 + \frac{{({{\log }_e}a)}}{{1!}} \cdot x + \frac{{{{\left( {{{\log }_e}a} \right)}^2}}}{{2!}} \cdot {x^2} + \frac{{{{\left( {{{\log }_e}a} \right)}^3}}}{{3!}} \cdot {x^3} + .......\infty [/tex]

 

উদাহরণ 1. দেখাও যে [tex]m \ne 1[/tex] হলে ,

[tex]1 + \frac{{1 + m}}{{2!}} + \frac{{1 + m + {m^2}}}{{3!}} + \frac{{1 + m + {m^2} + {m^3}}}{{4!}} + .........\infty  = \frac{{{e^m} - e}}{{m - 1}}[/tex]               [H.S. '84]

সমাধান : মনে করি n তম পদ =[tex]{t_n}[/tex].

অতএব [tex]{t_n} = \frac{{1 + m + {m^2} + ......... + {m^{n - 1}}}}{{n!}} = \frac{{1 - {m^n}}}{{1 - m}} \cdot \frac{1}{{n!}}[m \ne 1][/tex]

[tex]{t_1} = \frac{{1 - m}}{{1 - m}} \cdot \frac{1}{{1!}};{t_2} = \frac{{1 - {m^2}}}{{1 - m}} \cdot \frac{1}{{2!}};{t_3} = \frac{{1 - {m^3}}}{{1 - m}} \cdot \frac{1}{{3!}}[/tex]

প্রদত্ত অসীম শ্রেণিটি হল 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{1 - m}}{{1 - m}} \cdot \frac{1}{{1!}} + \frac{{1 - {m^2}}}{{1 - m}} \cdot \frac{1}{{2!}} + \frac{{1 - {m^3}}}{{1 - m}} \cdot \frac{1}{{3!}} + ........\infty \\
 = \frac{1}{{1 - m}}\left[ {\frac{{\left( {1 - m} \right)}}{{1!}} + \frac{{\left( {1 - {m^2}} \right)}}{{2!}} + \frac{{\left( {1 - {m^3}} \right)}}{{3!}} + ......\infty } \right]\\
 = \frac{1}{{1 - m}}\left[ {\left( {\frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + .....\infty } \right) - \left( {\frac{m}{{1!}} + \frac{{{m^2}}}{{2!}} + \frac{{{m^3}}}{{3!}} + .....\infty } \right)} \right]\\
 = \frac{1}{{1 - m}}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + .....\infty } \right) - \left( {1 + \frac{m}{{1!}} + \frac{{{m^2}}}{{2!}} + \frac{{{m^3}}}{{3!}} + .....\infty } \right)} \right]\\
 = \frac{1}{{1 - m}}\left[ {e - {e^m}} \right]\\
 = \frac{{{e^m} - e}}{{m - 1}}
\end{array}[/tex]

 

উদাহরণ 2. [tex]\frac{{1 - 2x - 3{x^2}}}{{{e^x}}}[/tex] এর বিস্তৃতিতে [tex]{x^n}[/tex]  এর সহগ নির্ণয় করো।                                                                                                                                                                                                        [H.S. '00]

সমাধান : 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{1 - 2x - 3{x^2}}}{{{e^x}}}\\
 = \left( {1 - 2x - 3{x^2}} \right){e^{ - x}}\\
 = \left( {1 - 2x - 3{x^2}} \right)\left( {1 - \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ....... + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 2}} \cdot \frac{{{x^{n - 2}}}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}} \cdot \frac{{{x^{n - 1}}}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + {{\left( { - 1} \right)}^n}\frac{{{x^n}}}{{n!}} + ....\infty } \right)
\end{array}[/tex]

ওপরের বিস্তৃতি থেকে দেখা যায় [tex]{x^n}[/tex] এর সহগ হল 

[tex]\begin{array}{l}
{\left( { - 1} \right)^n} \cdot \frac{1}{{n!}} - 2{\left( { - 1} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)!}} - 3{\left( { - 1} \right)^{n - 2}} \cdot \frac{1}{{\left( {n - 2} \right)!}}\\
 = {\left( { - 1} \right)^n} \cdot \frac{1}{{n!}}\left[ {1 + 2n - 3n\left( {n - 1} \right)} \right]\\
 = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n!}}\left[ {1 + 5n - 3{n^2}} \right]
\end{array}[/tex]

 

 

                                                              লগারিদম শ্রেণি ( Logarithmic Series )

যদি [tex]\left( { - 1 < x \le 1} \right)[/tex] হয় , তবে 

[tex]x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} + ....... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{{x^n}}}{n} + .......\infty [/tex]

এই শ্রেণিটি অভিসারী হয় এবং এর সমষ্টিকে [tex]{\log _e}\left( {1 + x} \right)[/tex] দ্বারা সূচিত করা হয়। অর্থাৎ 

[tex]{\log _e}\left( {1 + x} \right) = x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} + ....... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{{x^n}}}{n} + .......\infty [/tex]                [tex]\left( { - 1 < x \le 1} \right)[/tex].......(i)

উপরের বিস্তৃতিকে লগারিদম শ্রেণি ( Logarithmic Series ) বলে। 

 

কয়েকটি বিশেষ ক্ষেত্র ( Some Special Case )

1.  (i) বিস্তৃতিতে -x  , x এর স্থানে বসিয়ে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
{\log _e}\left( {1 - x} \right) =  - x - \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} - ..............\infty \\
\left( { - 1 \le x < 1} \right)    
\end{array}[/tex]

                                                                           .................(ii)

2.  (i) বিস্তৃতিতে x = 1 বসিয়ে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
{\log _e}\left( {1 + 1} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ..............\infty \\
 \Rightarrow {\log _e}2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ..............\infty 
\end{array}[/tex]

                                                                                  ..................(iii)

3.  (i) -(ii) করে পাই যখন ( -1 < x < 1 )

[tex]\begin{array}{l}
{\log _e}\left( {1 + x} \right) - {\log _e}\left( {1 - x} \right)\\
 = \left( {x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} + .......\infty } \right) - \left( { - x - \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} - .......\infty } \right)\\
 \Rightarrow {\log _e}\left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right) = 2\left( {x + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^5}}}{5} + .......\infty } \right)\\
 \Rightarrow \frac{1}{2}{\log _e}\left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right) = \left( {x + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^5}}}{5} + ......\infty } \right)
\end{array}[/tex]

                                                                                  ......................(iv)

4.  (iv) নং সমীকরণে মনে করি [tex]\frac{{1 + x}}{{1 - x}} = \frac{m}{n}[/tex] (m > n ) .

অর্থাৎ [tex]\frac{{1 + x + 1 - x}}{{1 + x - 1 + x}} = \frac{{m + n}}{{m - n}} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{{m + n}}{{m - n}} \Rightarrow x = \frac{{m - n}}{{m + n}}[/tex]

[tex]{\log _e}\frac{m}{n} = 2\left[ {\left( {\frac{{m - n}}{{m + n}}} \right) + \frac{1}{3}{{\left( {\frac{{m - n}}{{m + n}}} \right)}^3} + \frac{1}{5}{{\left( {\frac{{m - n}}{{m + n}}} \right)}^5} + ......\infty } \right][/tex]

                                                                                          .................(v)

5.  (v) নং সমীকরণে n = 1 বসিয়ে পাই 

[tex]{\log _e}m = 2\left[ {\left( {\frac{{m - 1}}{{m + 1}}} \right) + \frac{1}{3}{{\left( {\frac{{m - 1}}{{m + 1}}} \right)}^3} + \frac{1}{5}{{\left( {\frac{{m - 1}}{{m + 1}}} \right)}^5} + ......\infty } \right][/tex]

                                                                                          ....................(vi)

6.  (v) নং সমীকরণে m = n + 1 বসিয়ে পাই

[tex]\begin{array}{l}
{\log _e}\frac{{n + 1}}{n} = 2\left[ {\left( {\frac{{n + 1 - n}}{{n + 1 + n}}} \right) + \frac{1}{3}{{\left( {\frac{{n + 1 - n}}{{n + 1 + n}}} \right)}^3} + \frac{1}{5}{{\left( {\frac{{n + 1 - n}}{{n + 1 + n}}} \right)}^5} + ......\infty } \right]\\
 \Rightarrow {\log _e}\left( {n + 1} \right) - {\log _e}n = 2\left[ {\frac{1}{{\left( {2n + 1} \right)}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^3}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^5}}}} \right]
\end{array}[/tex]

                                                                                              ..................(vii)

7.  (i) নং সমীকরণে [tex]x = \frac{1}{n}[/tex] এবং [tex]x = ( - \frac{1}{n})[/tex] বসিয়ে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
{\log _e}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{1}{n}} \right)^2} + \frac{1}{3} \cdot {\left( {\frac{1}{n}} \right)^3} - \frac{1}{4}{\left( {\frac{1}{n}} \right)^4} + ...........\infty \\
 \Rightarrow {\log _e}\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{{2{n^2}}} + \frac{1}{{3{n^3}}} - \frac{1}{{4{n^4}}} + ..........\infty \\
 \Rightarrow {\log _e}\left( {n + 1} \right) - {\log _e}n = \frac{1}{n} - \frac{1}{{2{n^2}}} + \frac{1}{{3{n^3}}} - \frac{1}{{4{n^4}}} + ..........\infty 
\end{array}[/tex]

                                                                                                    .........(viii)

[tex]\begin{array}{l}
{\log _e}\left( {1 - \frac{1}{n}} \right) = ( - \frac{1}{n}) - \frac{1}{2} \cdot {\left( { - \frac{1}{n}} \right)^2} + \frac{1}{3} \cdot {\left( { - \frac{1}{n}} \right)^3} - \frac{1}{4}{\left( { - \frac{1}{n}} \right)^4} + ...........\infty \\
 \Rightarrow {\log _e}\left( {\frac{{n - 1}}{n}} \right) =  - \frac{1}{n} - \frac{1}{{2{n^2}}} - \frac{1}{{3{n^3}}} - \frac{1}{{4{n^4}}} - ..........\infty \\
 \Rightarrow {\log _e}\left( {n - 1} \right) - {\log _e}n =  - \frac{1}{n} - \frac{1}{{2{n^2}}} - \frac{1}{{3{n^3}}} - \frac{1}{{4{n^4}}} - ..........\infty \\
 \Rightarrow {\log _e}n - {\log _e}\left( {n - 1} \right) = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2{n^2}}} + \frac{1}{{3{n^3}}} + \frac{1}{{4{n^4}}} + ..........\infty 
\end{array}[/tex]

                                                                                       ........................(ix)

(viii) + (ix) করে পাই 

[tex]{\log _e}\left( {n + 1} \right) - {\log _e}\left( {n - 1} \right) = 2\left[ {\frac{1}{n} + \frac{1}{{3{n^3}}} + \frac{1}{{5{n^5}}} + ........\infty } \right][/tex]

                                                                                               ...................(x)

 

আমরা জানি [tex]{\log _{10}}x = {\log _e}x \times {\log _{10}}e = \frac{{{{\log }_e}x}}{{{{\log }_e}10}} = \mu  \cdot {\log _e}x[/tex] এই সমীকরণ অনুযায়ী আমরা যেকোন সংখ্যার লগারিদমের মান নির্ণয় করতে পারি। 

যেখানে [tex]\mu  = \frac{1}{{{{\log }_e}10}} = \frac{1}{{2.3025822}} = 0.4342945..[/tex]

সংক্ষিপ্তকরণ ( Summarisation )

1. [tex]{\log _e}\left( {1 + x} \right) = x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} + ...........\infty [/tex] যখন [tex]\left( { - 1 < x \le 1} \right)[/tex]
2. [tex]{\log _e}\left( {1 - x} \right) =  - x - \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} - ...........\infty [/tex] যখন [tex]\left( { - 1 \le x < 1} \right)[/tex]
3. [tex]\frac{1}{2}{\log _e}\frac{{1 + x}}{{1 - x}} = x + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^5}}}{5} + .............\infty [/tex] যখন ( -1 < x < 1)
4. [tex]{\log _e}2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ............\infty [/tex]
5. [tex]{\log _{10}}m = \mu {\log _e}m[/tex] যেখানে [tex]\mu  = \frac{1}{{{{\log }_e}10}} = 0.4342945[/tex], m যেকোন ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা। 

 

উদাহরণ 1. [tex]y = x + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^4}}}{4} + .....[/tex] হলে দেখাও যে , [tex]x = y - \frac{{{y^2}}}{{1!}} + \frac{{{y^3}}}{{2!}} - \frac{{{y^4}}}{{3!}} + .......[/tex]       [H.S.  '89]

সমাধান :

[tex]\begin{array}{l}
y = x + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^4}}}{4} + ......\\
 \Rightarrow  - y =  - x - \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4} - ......\\
 \Rightarrow  - y = {\log _e}\left( {1 - x} \right)\\
 \Rightarrow 1 - x = {e^{ - y}}\\
 \Rightarrow 1 - x = 1 - \frac{y}{{1!}} + \frac{{{y^2}}}{{2!}} - \frac{{{y^3}}}{{3!}} + \frac{{{y^4}}}{{4!}} - ......\\
 \Rightarrow  - x =  - \left( {\frac{y}{{1!}} - \frac{{{y^2}}}{{2!}} + \frac{{{y^3}}}{{3!}} - \frac{{{y^4}}}{{4!}} + ......} \right)\\
 \Rightarrow x = y - \frac{{{y^2}}}{{2!}} + \frac{{{y^3}}}{{3!}} - \frac{{{y^4}}}{{4!}} + .....
\end{array}[/tex]

 

উদাহরণ 2.  দেখাও যে [tex]{\log _2}e - {\log _4}e + {\log _8}e - {\log _{16}}e + .......\infty  = 1[/tex]       [H.S.   '94,'96,'00]

সমাধান : 

[tex]\begin{array}{l}
{\log _2}e - {\log _4}e + {\log _8}e - {\log _{16}}e + .......\infty \\
 = \frac{1}{{{{\log }_e}2}} - \frac{1}{{{{\log }_e}4}} + \frac{1}{{{{\log }_e}8}} - \frac{1}{{{{\log }_e}16}} + .....\infty \\
 = \frac{1}{{{{\log }_e}2}} - \frac{1}{{{{\log }_e}{2^2}}} + \frac{1}{{{{\log }_e}{2^3}}} - \frac{1}{{{{\log }_e}{2^4}}} + ......\infty \\
 = \frac{1}{{{{\log }_e}2}} - \frac{1}{{2{{\log }_e}2}} + \frac{1}{{3{{\log }_e}2}} - \frac{1}{{4{{\log }_e}2}} + ........\infty \\
 = \frac{1}{{{{\log }_e}2}}\left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ......\infty } \right)\\
 = \frac{1}{{{{\log }_e}2}} \times {\log _e}2 = 1
\end{array}[/tex]

 

উদাহরণ 3. দেখাও যে [tex]\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{1 + 2}}{{{4^2}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{1 + 2 + {2^2}}}{{{4^3}}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{{1 + 2 + {2^2} + {2^3}}}{{{4^4}}} + .....\infty  = {\log _e}\left( {\frac{3}{2}} \right)[/tex]

                                                                                                                 [H.S.   '92]

সমাধান : এই অসীম শ্রেণির n তম পদ [tex]{t_n}[/tex] হলে 

[tex]\begin{array}{l}
{t_n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{{1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ..... + {2^{n - 1}}}}{{{4^n}}}\\
 \Rightarrow {t_n} = \frac{1}{{n{4^n}}} \cdot \frac{{{2^n} - 1}}{{2 - 1}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{{{2^n} - 1}}{{{4^n}}} = \frac{1}{n} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^n}}} - \frac{1}{{{4^n}}}} \right)
\end{array}[/tex]

অতএব [tex]{t_1} = \frac{1}{1} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^1}}} - \frac{1}{{{4^1}}}} \right),{t_2} = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}} \right),{t_3} = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{4^3}}}} \right)[/tex]

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} + {t_3} + {t_4} + ........\infty \\
 = \frac{1}{1} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^1}}} - \frac{1}{{{4^1}}}} \right) + \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) + \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{1}{{{2^3}}} - \frac{1}{{{4^3}}}} \right) + ........\infty \\
 = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{{2^3}}} + ........\infty } \right) - \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{{4^3}}} + ........\infty } \right)\\
 =  - {\log _e}\left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + {\log _e}\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\\
 =  - {\log _e}\left( {\frac{1}{2}} \right) + {\log _e}\left( {\frac{3}{4}} \right)\\
 = {\log _e}\left( {\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}} \right)\\
 = {\log _e}\left( {\frac{3}{4} \times 2} \right) = {\log _e}\left( {\frac{3}{2}} \right)
\end{array}[/tex]