সূচকের নিয়মাবলির প্রমাণ (Proof of Different laws of Indices)

Submitted by arpita pramanik on Thu, 08/27/2020 - 18:18

সূচকের নিয়মাবলির প্রমাণ (Proof of the laws)

1. [tex]{a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}[/tex] এর প্রমাণ

 [tex]{a^m} = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m[/tex] সংখ্যক [tex]{a^n} = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,n[/tex] সংখ্যক

[tex]{a^m} \cdot {a^n} = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m[/tex] সংখ্যক [tex] \cdot a \times a \times a \times  \ldots  \times a,n[/tex] সংখ্যক

[tex] = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m + n[/tex] সংখ্যক

[tex] = {a^{m + n}}[/tex]

 

2. [tex]{a^m} \div {a^n} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},m > n[/tex] এর প্রমাণ

যেহেতু m ও n দুটি অখণ্ড সংখ্যা এবং [tex]m > n,m - n[/tex] অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা ।

এখন [tex]{a^n} \cdot {a^{m - n}} = {a^{n + m - n}} = {a^m}[/tex] [1. থেকে প্রমানিত ]

[tex]{a^{m - n}} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}}[/tex]  [ উভয় কে [tex]{a^n}[/tex] দিয়ে ভাগ দিয়ে পাই ]

 

3. [tex]{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}[/tex] এর প্রমাণ

এখন [tex]{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^m} \cdot {a^m} \cdot {a^m} \cdot  \ldots  \cdot {a^m},n[/tex] সংখ্যক

[tex]\begin{array}{l}
 = {a^{m + m + m +  \ldots m}}\\
 = {a^{mn}}
\end{array}[/tex]

 

4. [tex]{\left( {ab} \right)^m} = {a^m} \cdot {b^m}[/tex] এর প্রমাণ

[tex]{\left( {ab} \right)^m} = ab \cdot ab \cdot ab \cdot  \ldots  \cdot ab,m[/tex] সংখ্যক

[tex] = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m[/tex] সংখক[tex] \cdot b \times b \times b \times  \ldots  \times b,m[/tex] সংখ্যক

[tex] = {a^m} \cdot {b^m}[/tex]

 

5. [tex]{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}[/tex] এর প্রমাণ

 এখন

[tex]\begin{array}{l}
{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} \times {b^m} = {\left( {\frac{a}{b} \times b} \right)^m} = {a^m}\\
{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}
\end{array}[/tex] [ আগের প্রমান থেকে পাই ]

[উভয়কে [tex]{b^m}[/tex] দিয়ে ভাগ করে পাই]

 

m যখন ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা নয় তখন [tex]{a^m}[/tex] এর অর্থ ( Meaning of [tex]{a^m}[/tex] , when m is not a Positive Integer )

আমরা m ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার জন্য আগের নিয়মাবলি প্রয়োগ করেছি । কিন্তু m যখন ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা না হয়ে  m এর মান যদি শূন্য , ঋনাত্মক বা ভগ্নাংশ হয় তখন  সেক্ষেত্রে [tex]{a^m}[/tex] এর কোনো অর্থ হয় না ।

1) যখন m = 0

 [tex]\begin{array}{l}
m = 0\\
{a^m} = {a^0}
\end{array}[/tex]

অর্থাৎ a কে শূন্যবার গুন করা বোঝায় যার কোনো অর্থ নেই ।

2)  যখন m < 0

[tex]m < 0[/tex]

মনে করি [tex]m =  - p[/tex] যেখনে p হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ।

[tex]{a^m} = {a^{ - p}}[/tex] ,a কে (-p) বার গুন করা বোঝায়।যা অর্থহীন । ভগ্ণাংশের ক্ষেত্রেও একই সমস্যা।তবুও সূচকের মূল সত্যটি সবক্ষেত্রে সত্য বলে ধরে নেওয়া হয় ।

 

m এর মান যখন শূন্য ঋনাত্মক এবং ভগ্নাংশ তখন নিম্নলিখিত ভাবে [tex]{a^m}[/tex] কে প্রকাশ করা হয় ।

1) [tex]{a^0},\left( {a \ne 0} \right)[/tex] এর অর্থ

[tex]\begin{array}{l}
{a^0} \cdot {a^m} = {a^m}\\
 \Rightarrow {a^0} = \frac{{{a^m}}}{{{a^m}}} = 1,\left[ {a \ne 0} \right]
\end{array}[/tex] [সূচকের যেকোনো মানে মূল সূত্র সত্য]

[ উভয়কে [tex]{a^m}[/tex] দিয়ে ভাগ করে পাই ]

2) যখন [tex]m < 0,\left( {a \ne 0} \right)[/tex]

মনে করি [tex]m =  - p[/tex] (p হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা )

[tex]\begin{array}{l}
{a^{ - p}} \cdot {a^p} = {a^{ - p + p}} = {a^0} = 1\\
{a^{ - p}}.{a^p} = 1\\
 \Rightarrow {a^{ - p}} = \frac{1}{{{a^p}}}
\end{array}[/tex] [ সূচকের যেকোনো মানে মূলসূত্র সত্য]

[ উভয়পক্ষকে [tex]{a^p}[/tex] দিয়ে ভাগ করে পাই [tex]a \ne 0[/tex] ]

অনুরূপে [tex]{a^p} = \frac{1}{{{a^{ - p}}}},a \ne 0[/tex] 

অতএব [tex]{a^{ - p}}[/tex] হয় [tex]{a^p}[/tex] এর অন্যোনক ।

 

3) যখন m ভগ্নাংশ হয় ।

মনে করি [tex]m = \frac{p}{q}[/tex], যেখানে p ও q হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ।

[tex]\begin{array}{l}
{\left( {{a^{\frac{p}{q}}}} \right)^q} = {a^{\frac{p}{q} \cdot q}} = {a^p}\\
{\left( {{a^{\frac{p}{q}}}} \right)^q} = {a^p}\\
 \Rightarrow {a^{\frac{p}{q}}} = \sqrt[q]{{{a^p}}}
\end{array}[/tex] [সূচকের যে কোনো মানে মূল সূত্রটি সত্য ]

[tex]{a^{\frac{p}{q}}}[/tex] কে [tex]{a^p}[/tex] এর q তম মূল বলে ।


 

 

Comments

Related Items

সূচক সংক্রান্ত অংকের সমাধান (Solution of Indices )

সূচকের বিভিন্ন ধরণের অংকের সমাধান (Solution of Indices ), উচ্চ মাধ্যমিক, জয়েন্ট এন্ট্রান্স ও বিভিন্ন পরীক্ষায় আগত প্রশ্নের সমাধান

সূচকের সংক্ষিপ্তকরণ (Summary of indices)

সূচকের নিয়মাবলীর সংক্ষিপ্তকরণ । a ও b এর মান শূন্য না হলে m ও n এর যে কোনো বাস্তব মানের জন্য সূচকের নিম্নলিখিত সূত্রাবলি হল ।

জটিল রাশির বীজগণিত (Algebra of Complex Numbers)

দুটি জটিল রাশির যোগফল একটি জটিল রাশি হয় , দুটি জটিল রাশির বিয়োগফল একটি জটিল রাশি হয় , জটিল রাশির গুণফল একটি জটিল রাশি হবে, জটিল রাশির ভাগফল একটি জটিল রাশি হবে, একটি জটিল রাশির যেকোনো অখন্ড ঘাত একটি জটিল রাশি হয়

জটিল রাশির ধর্ম ( Properties of Complex Numbers)

বাস্তব সংখ্যার ন্যায় জটিল রাশি যোগ ও গুণ সাপেক্ষে বিনিময় (Commutative), সংযোগ (Associative) এবং বিচ্ছেদ (Distributive) নিয়ম মেনে চলে । দুটি পরস্পর অনুবন্দি জটিল রাশির যোগফল ও গুণফল উভয়ই বিশুদ্ধ বাস্তব রাশি ।

দুটি জটিল রাশির গুণফল ও ভাগফলের মডিউলাস এবং আরগুমেন্ট নির্ণয়

দুটি জটিল রাশির গুণফল ও ভাগফলের মডিউলাস এবং আরগুমেন্ট নির্ণয় , দুটি জটিল রাশির গুণফলের মডিউলাস = তাদের পৃথক পৃথক ভাবে মডিউলাস এর গুণফলের সঙ্গে সমান ।