Problem 0014 | Quadratic Equation

উদাহরন ১৪৷  যদি  {x^2} + bx + ca = 0 এবং {x^2} + cx + ab = 0  সমীকরণ দুটির শূন্য নয় এমন একটিমাত্র সাধারণ বীজ থাকে তবে প্রমান করো যে, তাদের অন্য বীজগুলি {t^2} + at + bc = 0  সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।                                                     [Jt. Ent. ‘84]

সমাধানঃ মনে করি \alpha  হল {x^2} + bx + ca = 0  এবং {x^2} + cx + ab = 0  সমীকরণ দুটির সাধারণ বীজ।

তবে আমরা পাই

\begin{array}{l}<br />{\alpha ^2} + b\alpha  + ca = 0 \to \left( 1 \right)\\<br />{\alpha ^2} + c\alpha  + ab = 0 \to \left( 2 \right)\\<br />\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\\<br />\alpha \left( {b - c} \right) - a\left( {b - c} \right) = 0\\<br /> \Rightarrow \alpha  = a<br />\end{array}

অতএব a  হল সমীকরণ দুটির সাধারণ বীজ।

মনে করি {x^2} + bx + ca = 0 সমীকরণের অন্য বীজটি হল \beta  এবং {x^2} + cx + ab = 0 সমীকরণের অন্য বীজটি হল \gamma

তবে আমরা পাই

\begin{array}{l}<br />a + \beta  =  - b \to \left( 3 \right),a\beta  = ca \to \left( 4 \right)\\<br />a + \gamma  =  - c \to \left( 5 \right),a\gamma  = ab \to \left( 6 \right)<br />\end{array}

 aযেহেতু  {x^2} + bx + ca = 0 এই সমীকরণের বীজ, তাই

\begin{array}{l}<br />{a^2} + ab + ac = 0\\<br /> \Rightarrow a\left( {a + b + c} \right) = 0<br />\end{array}

অতএব হয় a = 0 অথবা a + b + c = 0

কিন্তু a = 0 হতে পারে না কারণ তাহলে \alpha  = 0 হবে, তা অসম্ভব।

সুতরাং a + b + c = 0 হবে।

a + b + c = 0 \Rightarrow b + c =  - a

(3) + (5) করে পাই

\begin{array}{l}<br />2\alpha  + \beta  + \gamma  =  - \left( {b + c} \right)\\<br /> \Rightarrow 2\alpha  + \beta  + \gamma  = a\\<br /> \Rightarrow 2a + \beta  + \gamma  = a\\<br /> \Rightarrow \beta  + \gamma  =  - a \to \left( 7 \right)<br />\end{array}

(4) ও (6)  গুণ করে পাই

\begin{array}{l}<br />{a^2}\beta \gamma  = c{a^2}b\\<br /> \Rightarrow \beta \gamma  = cb \to \left( 8 \right)<br />\end{array}

অতএব  \beta ,\gamma যে সমীকরণকে সিদ্ধ করবে তা হবে

\begin{array}{l}<br />{t^2} - \left( {\beta  + \gamma } \right)t + \beta \gamma  = 0\\<br /> \Rightarrow {t^2} + at + bc = 0\left( {proved} \right)<br />\end{array}