Problem 0014 | Quadratic Equation

Submitted by Publisher on Wed, 02/20/2013 - 21:13

উদাহরন ১৪৷  যদি  [tex]{x^2} + bx + ca = 0[/tex] এবং [tex]{x^2} + cx + ab = 0[/tex]  সমীকরণ দুটির শূন্য নয় এমন একটিমাত্র সাধারণ বীজ থাকে তবে প্রমান করো যে, তাদের অন্য বীজগুলি [tex]{t^2} + at + bc = 0[/tex]  সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।                                                     [Jt. Ent. ‘84]

সমাধানঃ মনে করি [tex]\alpha [/tex]  হল [tex]{x^2} + bx + ca = 0[/tex]  এবং [tex]{x^2} + cx + ab = 0[/tex]  সমীকরণ দুটির সাধারণ বীজ।

তবে আমরা পাই

[tex]\begin{array}{l}
{\alpha ^2} + b\alpha  + ca = 0 \to \left( 1 \right)\\
{\alpha ^2} + c\alpha  + ab = 0 \to \left( 2 \right)\\
\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\\
\alpha \left( {b - c} \right) - a\left( {b - c} \right) = 0\\
 \Rightarrow \alpha  = a
\end{array}[/tex]

অতএব [tex]a[/tex]  হল সমীকরণ দুটির সাধারণ বীজ।

মনে করি [tex]{x^2} + bx + ca = 0[/tex] সমীকরণের অন্য বীজটি হল [tex]\beta [/tex]  এবং [tex]{x^2} + cx + ab = 0[/tex] সমীকরণের অন্য বীজটি হল [tex]\gamma [/tex] ।

তবে আমরা পাই

[tex]\begin{array}{l}
a + \beta  =  - b \to \left( 3 \right),a\beta  = ca \to \left( 4 \right)\\
a + \gamma  =  - c \to \left( 5 \right),a\gamma  = ab \to \left( 6 \right)
\end{array}[/tex]

 [tex]a[/tex]যেহেতু  [tex]{x^2} + bx + ca = 0[/tex] এই সমীকরণের বীজ, তাই

[tex]\begin{array}{l}
{a^2} + ab + ac = 0\\
 \Rightarrow a\left( {a + b + c} \right) = 0
\end{array}[/tex]

অতএব হয় [tex]a = 0[/tex] অথবা [tex]a + b + c = 0[/tex]

কিন্তু [tex]a = 0[/tex] হতে পারে না কারণ তাহলে [tex]\alpha  = 0[/tex] হবে, তা অসম্ভব।

সুতরাং [tex]a + b + c = 0[/tex] হবে।

[tex]a + b + c = 0 \Rightarrow b + c =  - a[/tex]

(3) + (5) করে পাই

[tex]\begin{array}{l}
2\alpha  + \beta  + \gamma  =  - \left( {b + c} \right)\\
 \Rightarrow 2\alpha  + \beta  + \gamma  = a\\
 \Rightarrow 2a + \beta  + \gamma  = a\\
 \Rightarrow \beta  + \gamma  =  - a \to \left( 7 \right)
\end{array}[/tex]

(4) ও (6)  গুণ করে পাই

[tex]\begin{array}{l}
{a^2}\beta \gamma  = c{a^2}b\\
 \Rightarrow \beta \gamma  = cb \to \left( 8 \right)
\end{array}[/tex]

অতএব  [tex]\beta ,\gamma [/tex] যে সমীকরণকে সিদ্ধ করবে তা হবে

[tex]\begin{array}{l}
{t^2} - \left( {\beta  + \gamma } \right)t + \beta \gamma  = 0\\
 \Rightarrow {t^2} + at + bc = 0\left( {proved} \right)
\end{array}[/tex]

 

Comments

Related Items

Problem 0013 | Quadratic Equations

উদাহরণ ১৩৷  (১)  k  এর যে সব মানের জন্য  [tex]{x^2} - kx - 21 = 0[/tex] এবং [tex]{x^2} - 3kx + 35 = 0[/tex]  সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ থাকবে তা নির্ণয় কর।                [H.S ‘87]

Problem 0012 | Quadratic Equation

উদাহরণ ১২৷    [tex]a,b,c[/tex]  বাস্তব হলে প্রমান করো যে , [tex]\frac{1}{{x - a}} + \frac{1}{{x - b}} + \frac{1}{{x - c}} = 0[/tex]  সমীকরণের বীজগুলি সর্বদা বাস্তব এবং  [tex]a = b = c[/tex] না হলে বীজ দুটি সমান হতে পারে না।                 [Jt. Ent. ‘86]

সমাধানঃ   সমীকরণটি হল

Problem 0011 | Quadratic Equations

উদাহরণ ১১৷  দেখাও যে [tex]a\left( {b - c} \right){x^2} + b\left( {c - a} \right)x + c\left( {a - b} \right) = 0[/tex]  সমীকরণের বীজ দুটি সমান হলে [tex]\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}[/tex]  সামান্তর প্রগতিতে থাকবে।                  [H.S ‘96]

সমাধানঃ

মনে করি

Problem 0010 | Quadratic Equations

উদাহরণ ১০৷ [tex]p{x^2} - 2qx + p = 0[/tex]   সমীকরণের বীজ দুটি বাস্তব ও অসমান হলে দেখাও যে,  [tex]q{x^2} - 2px + q = 0[/tex] সমীকরণের বীজ দুটি কাল্পনিক হবে এবং বিপরীতক্রমেও তা সত্য ( p, q বাস্তব)

                                                         [H.S ‘93]

Problem 009 | Quadratic Equations

উদাহরণ ৯৷ [tex]a,b,c[/tex]   বাস্তব ও মূ্লদ এবং [tex]a + b + c = 0[/tex] হলে দেখাও যে, [tex]a{x^2} + bx + c = 0[/tex] দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি  মূলদ হবে।        [H.S ‘98]

সমাধানঃ