Problem 0012 | Quadratic Equation

Submitted by Publisher on Wed, 02/20/2013 - 20:13

উদাহরণ ১২৷    [tex]a,b,c[/tex]  বাস্তব হলে প্রমান করো যে , [tex]\frac{1}{{x - a}} + \frac{1}{{x - b}} + \frac{1}{{x - c}} = 0[/tex]  সমীকরণের বীজগুলি সর্বদা বাস্তব এবং  [tex]a = b = c[/tex] না হলে বীজ দুটি সমান হতে পারে না।                 [Jt. Ent. ‘86]

সমাধানঃ   সমীকরণটি হল

[tex]\begin{array}{l}
\frac{1}{{x - a}} + \frac{1}{{x - b}} + \frac{1}{{x - c}} = 0\\
 \Rightarrow \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\\
 \Rightarrow {x^2} - x\left( {a + b} \right) + ab + {x^2} - x\left( {b + c} \right) + bc + {x^2} - x\left( {c + a} \right) + ca = 0\\
 \Rightarrow 3{x^2} - x\left( {a + b + b + c + c + a} \right) + ab + bc + ca = 0\\
 \Rightarrow 3{x^2} - 2x\left( {a + b + c} \right) + ab + bc + ca = 0 \to \left( 1 \right)
\end{array}[/tex]

(1) নং সমীকরণের নিরূপক হল

[tex]\begin{array}{l}
4{\left( {a + b + c} \right)^2} - 4 \times 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\
 = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc} \right) - 12\left( {ab + bc + ca} \right)\\
 = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 4\left( {ab + bc + ca} \right)\\
 = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)\\
 = 2\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac} \right)\\
 = 2\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right)} \right]\\
 = 2\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \to \left( 1 \right)\\
 = 0
\end{array}[/tex]

অতএব দেখা যাচ্ছে নিরূপকের মান ধনাত্মক। সুতরাং সমীকরণের বীজ গুলি সর্বদা বাস্তব হবে।

যদি [tex]a = b = c[/tex]  হয় তবে (1)  নং থেকে পাই

[tex]\begin{array}{l}
2\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + \left( {c - {a^2}} \right)} \right]\\
 = 2\left[ {{{\left( {a - a} \right)}^2} + {{\left( {b - b} \right)}^2} + {{\left( {c - c} \right)}^2}} \right]\\
 = 0
\end{array}[/tex]

তাহলে নিরূপকের মান শূন্য হবে। সুতরাং [tex]a = b = c[/tex]  হলে বীজ দুটি সমান হবে, না হলে হবে না।

Comments

Related Items

Problem 0014 | Quadratic Equation

উদাহরন ১৪৷  যদি  [tex]{x^2} + bx + ca = 0[/tex] এবং [tex]{x^2} + cx + ab = 0[/tex]  সমীকরণ দুটির শূন্য নয় এমন একটিমাত্র সাধারণ বীজ থাকে তবে প্রমান করো যে, তাদের অন্য বীজগুলি [tex]{t^2} + at + bc = 0[/tex]  সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।                                                     [Jt. Ent.

Problem 0013 | Quadratic Equations

উদাহরণ ১৩৷  (১)  k  এর যে সব মানের জন্য  [tex]{x^2} - kx - 21 = 0[/tex] এবং [tex]{x^2} - 3kx + 35 = 0[/tex]  সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ থাকবে তা নির্ণয় কর।                [H.S ‘87]

Problem 0011 | Quadratic Equations

উদাহরণ ১১৷  দেখাও যে [tex]a\left( {b - c} \right){x^2} + b\left( {c - a} \right)x + c\left( {a - b} \right) = 0[/tex]  সমীকরণের বীজ দুটি সমান হলে [tex]\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}[/tex]  সামান্তর প্রগতিতে থাকবে।                  [H.S ‘96]

সমাধানঃ

মনে করি

Problem 0010 | Quadratic Equations

উদাহরণ ১০৷ [tex]p{x^2} - 2qx + p = 0[/tex]   সমীকরণের বীজ দুটি বাস্তব ও অসমান হলে দেখাও যে,  [tex]q{x^2} - 2px + q = 0[/tex] সমীকরণের বীজ দুটি কাল্পনিক হবে এবং বিপরীতক্রমেও তা সত্য ( p, q বাস্তব)

                                                         [H.S ‘93]

Problem 009 | Quadratic Equations

উদাহরণ ৯৷ [tex]a,b,c[/tex]   বাস্তব ও মূ্লদ এবং [tex]a + b + c = 0[/tex] হলে দেখাও যে, [tex]a{x^2} + bx + c = 0[/tex] দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি  মূলদ হবে।        [H.S ‘98]

সমাধানঃ