Problem 0011 | Quadratic Equations

Submitted by Publisher on Wed, 02/20/2013 - 20:05

উদাহরণ ১১৷  দেখাও যে [tex]a\left( {b - c} \right){x^2} + b\left( {c - a} \right)x + c\left( {a - b} \right) = 0[/tex]  সমীকরণের বীজ দুটি সমান হলে [tex]\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}[/tex]  সামান্তর প্রগতিতে থাকবে।                  [H.S ‘96]

সমাধানঃ

মনে করি

   [tex]\begin{array}{l}
p = a\left( {b - c} \right),q = b\left( {c - a} \right),r = c\left( {a - b} \right)\\
p + q + r = a\left( {b - c} \right) + b\left( {c - a} \right) + c\left( {a - b} \right)\\
 \Rightarrow p + q + r = ab - ac + bc - ab + ca - cb\\
 \Rightarrow p + q + r = 0\\
 \Rightarrow p + r =  - q \to \left( 1 \right)
\end{array}[/tex]

নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে

[tex]p{x^2} + qx + r = 0 \to \left( 2 \right)[/tex]

  (2) নং সমীকরণের বীজ দুটি সমান হওয়ার শর্ত হল নিরূপকটির মান যদি শূন্য হয়।

অতএব

[tex]\begin{array}{l}
{q^2} - 4pr = 0\\
 \Rightarrow {\{  - \left( {p + r} \right)\} ^2} - 4pr = 0\left[ {by\left( 1 \right)} \right]\\
 \Rightarrow {\left( {p + r} \right)^2} - 4pr = 0\\
 \Rightarrow {\left( {p - r} \right)^2} = 0\\
 \Rightarrow p = r\\
 \Rightarrow a\left( {b - c} \right) = c\left( {a - b} \right)\\
 \Rightarrow ab - ac = ac - bc\\
 \Rightarrow ab + bc = 2ac\\
 \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}\left( {proved} \right)
\end{array}[/tex]

 

Comments

Related Items

Problem 0014 | Quadratic Equation

উদাহরন ১৪৷  যদি  [tex]{x^2} + bx + ca = 0[/tex] এবং [tex]{x^2} + cx + ab = 0[/tex]  সমীকরণ দুটির শূন্য নয় এমন একটিমাত্র সাধারণ বীজ থাকে তবে প্রমান করো যে, তাদের অন্য বীজগুলি [tex]{t^2} + at + bc = 0[/tex]  সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।                                                     [Jt. Ent.

Problem 0013 | Quadratic Equations

উদাহরণ ১৩৷  (১)  k  এর যে সব মানের জন্য  [tex]{x^2} - kx - 21 = 0[/tex] এবং [tex]{x^2} - 3kx + 35 = 0[/tex]  সমীকরণ দুটির একটি সাধারণ বীজ থাকবে তা নির্ণয় কর।                [H.S ‘87]

Problem 0012 | Quadratic Equation

উদাহরণ ১২৷    [tex]a,b,c[/tex]  বাস্তব হলে প্রমান করো যে , [tex]\frac{1}{{x - a}} + \frac{1}{{x - b}} + \frac{1}{{x - c}} = 0[/tex]  সমীকরণের বীজগুলি সর্বদা বাস্তব এবং  [tex]a = b = c[/tex] না হলে বীজ দুটি সমান হতে পারে না।                 [Jt. Ent. ‘86]

সমাধানঃ   সমীকরণটি হল

Problem 0010 | Quadratic Equations

উদাহরণ ১০৷ [tex]p{x^2} - 2qx + p = 0[/tex]   সমীকরণের বীজ দুটি বাস্তব ও অসমান হলে দেখাও যে,  [tex]q{x^2} - 2px + q = 0[/tex] সমীকরণের বীজ দুটি কাল্পনিক হবে এবং বিপরীতক্রমেও তা সত্য ( p, q বাস্তব)

                                                         [H.S ‘93]

Problem 009 | Quadratic Equations

উদাহরণ ৯৷ [tex]a,b,c[/tex]   বাস্তব ও মূ্লদ এবং [tex]a + b + c = 0[/tex] হলে দেখাও যে, [tex]a{x^2} + bx + c = 0[/tex] দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি  মূলদ হবে।        [H.S ‘98]

সমাধানঃ