Problem 0011 | Quadratic Equations

উদাহরণ ১১৷  দেখাও যে a\left( {b - c} \right){x^2} + b\left( {c - a} \right)x + c\left( {a - b} \right) = 0  সমীকরণের বীজ দুটি সমান হলে \frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}  সামান্তর প্রগতিতে থাকবে।                  [H.S ‘96]

সমাধানঃ

মনে করি

   \begin{array}{l}<br />p = a\left( {b - c} \right),q = b\left( {c - a} \right),r = c\left( {a - b} \right)\\<br />p + q + r = a\left( {b - c} \right) + b\left( {c - a} \right) + c\left( {a - b} \right)\\<br /> \Rightarrow p + q + r = ab - ac + bc - ab + ca - cb\\<br /> \Rightarrow p + q + r = 0\\<br /> \Rightarrow p + r =  - q \to \left( 1 \right)<br />\end{array}

নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে

p{x^2} + qx + r = 0 \to \left( 2 \right)

  (2) নং সমীকরণের বীজ দুটি সমান হওয়ার শর্ত হল নিরূপকটির মান যদি শূন্য হয়।

অতএব

\begin{array}{l}<br />{q^2} - 4pr = 0\\<br /> \Rightarrow {\{  - \left( {p + r} \right)\} ^2} - 4pr = 0\left[ {by\left( 1 \right)} \right]\\<br /> \Rightarrow {\left( {p + r} \right)^2} - 4pr = 0\\<br /> \Rightarrow {\left( {p - r} \right)^2} = 0\\<br /> \Rightarrow p = r\\<br /> \Rightarrow a\left( {b - c} \right) = c\left( {a - b} \right)\\<br /> \Rightarrow ab - ac = ac - bc\\<br /> \Rightarrow ab + bc = 2ac\\<br /> \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}\left( {proved} \right)<br />\end{array}