গাণিতিক আরোহণ তত্ত্ব (Theory of Mathematical Induction)
সূচনা (Introduction):- সাধারণত আমরা কোনো সূত্র, অসমতা, উপপাদ্য ইত্যাদি প্রমাণে দুটি পদ্ধতি প্রয়োগ করি । এই দুটি পদ্ধতি হল (i) অবরোহণ বা অবরোহ (Deduction) এবং (ii) আরোহণ (Induction) ।
(i) অবরোহণ বা অবরোহ (Deduction) :- যে পদ্ধতির সাহায্যে আমরা সাধারণ নিয়ম থেকে বিশেষ নিয়ম প্রতিষ্ঠা করি, তাকে অবরোহণ বা অবরোহ (Deduction) বলে ।
(ii) আরোহণ (Induction) :- যে পদ্ধতির সাহায্যে আমরা বিশেষ নিয়ম থেকে সাধারণ নিয়ম প্রতিষ্ঠা করি, তাকে আরোহণ (Induction) বলে ।
এখানে কেবল গাণিতিক আরোহণ (Mathematical Induction) সম্পর্কে আলোচনা করা হয়েছে । পর্যবেক্ষণ থেকে এই পদ্ধতির সূচনা হয় । পর্যবেক্ষণ থেকে যে ধারণা পাওয়া যায়, তা প্রয়োগ করে যে সিদ্ধান্ত পাই, তাকে গাণিতিক বিবৃতি (Mathematical statement) বলে । এই গাণিতিক বিবৃতি সত্যি বা মিথ্যা দুই হতে পারে ।
গাণিতিক আরোহণ তত্ত্ব (Principle of Mathematical Induction):- ধরা যাক একটি স্বাভাবিক সংখ্যার সেট হল N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...................} এবং স্বাভাবিক সংখ্যা n সমন্বিত একটি গাণিতিক বিবৃতি হল P(n) এমন যে,
(i) P(1) সত্য অর্থাৎ n = 1 এ P(n) সত্য ।
এবং (ii) P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয় ।
তাহলে P(n) গাণিতিক বিবৃতি n এর সব মানে সত্য হবে, যেখানে [tex]n \in N[/tex] .
নিম্নোলিখিত পদ্বতির সাহয্যে, গণিতিক আরোহণ তত্বের প্ৰয়োগে স্বভাবিক সংখা n -সমন্বিত কোনো গাণিতিক সূত্রের প্রমাণ করা যায় :
প্রথমত, ধরা যাক, P(n ) = n -সমন্বিত গাণিতিক সম্মন্ধ (যা প্রশ্নে প্রমান করতে বলা হয়েছে).
দ্বিতীয়ত, n = 1 প্রয়োগ করে দেখা যায় যে P(n ) সত্য, যখন [tex]n \ge 1[/tex];
n = 2 প্রয়োগ করে দেখা যায় যে P(n ) সত্য, যখন [tex]n \ge 2[/tex]; ইত্যাদি
তৃতীয়ত, মনে করা হয়, n এর কোনো বিশেষ মান m -এ P(n) সত্য
অবশেষে, n = m -এ P(n) সত্য এই অনুমান প্রয়োগ করা হয় যে, n = (m +1) -এ P(n) সত্য হবে.
উদাহরণ : গাণিতিক আরোহন প্রণালীর প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, প্রথম n স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি হয়
[tex]\frac{1}{6}n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)[/tex].
সমাধান : মনে করি গাণিতিক বিবৃতিটি P(n) দ্বারা সূচিত হল । অর্থাৎ
[tex]P\left( n \right):{1^2} + {2^2} + {3^2} + ............. + {n^2} = \frac{1}{6}n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)[/tex]
যখন n =1, তখন
[tex]P\left( 1 \right):{1^2} = \frac{1}{6} \times 1 \times \left( {1 + 1} \right)\left( {2 \times 1 + 1} \right)[/tex]
দেখা যাচ্ছে [tex]\frac{1}{6} \times 1 \times \left( {1 + 1} \right)\left( {2 \times 1 + 1} \right) = \frac{1}{6} \times 2 \times 3 = 1 = {1^2}[/tex]
সুতরাং n = 1 এর জন্য P(n) সত্য ।
আবার মনে করা হল n = m এর জন্য P(n) সত্য হবে । তাহলে
[tex]{1^2} + {2^2} + {3^2} + ............. + {m^2} = \frac{1}{6}m\left( {m + 1} \right)\left( {2m + 1} \right)[/tex] হবে ।
এখন আমাদের দেখতে হবে (m + 1) এর জন্য বিবৃতিটি সত্য হবে । অর্থাৎ
[tex]{1^2} + {2^2} + {3^2} + ............. + {m^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = \frac{1}{6}\left( {m + 1} \right)\left( {m + 1 + 1} \right)\left[ {2\left( {m + 1} \right) + 1} \right][/tex] হবে।
এখন [tex]\begin{array}{l}
{1^2} + {2^2} + {3^2} + ............. + {m^2} + {\left( {m + 1} \right)^2}\\
= \frac{1}{6}m\left( {m + 1} \right)\left( {2m + 1} \right) + {\left( {m + 1} \right)^2}\\
= \frac{1}{6}\left( {m + 1} \right)\left[ {m\left( {2m + 1} \right) + 6\left( {m + 1} \right)} \right]\\
= \frac{1}{6}\left( {m + 1} \right)\left[ {2{m^2} + m + 6m + 6} \right]\\
= \frac{1}{6}\left( {m + 1} \right)\left[ {2{m^2} + 7m + 6} \right]\\
= \frac{1}{6}\left( {m + 1} \right)\left[ {2{m^2} + 3m + 4m + 6} \right]\\
= \frac{1}{6}\left( {m + 1} \right)\left[ {m\left( {2m + 2 + 1} \right) + 2\left( {2m + 2 + 1} \right)} \right]\\
= \frac{1}{6}\left( {m + 1} \right)\left( {m + 1 + 1} \right)\left[ {2\left( {m + 1} \right) + 1} \right]
\end{array}[/tex]
স্পটতই বোঝা যাচ্ছে P(m) সত্য হলে P(m +1) সত্য হবে ।
যেহেতু P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m +1) সত্য সুতরাং গাণিতিক আরোহণ তত্ত্ব অনুযায়ী P(n) সত্য যখন [tex]n \in N[/tex] অর্থাৎ প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ।
[tex]\frac{1}{6}n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)[/tex] ।
উদাহরণ : [tex]n \in N[/tex] হলে গাণিতিক আরোহণ প্রণালী তত্ত্বের সাহায্যে প্রমান করো যে ,
[tex]{1^3} + {2^3} + {3^3} + ........... + {n^3} = {\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}[/tex]
সমাধান : মনে করি প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি S(n) দ্বারা সূচিত হল । অর্থাৎ
[tex]S\left( n \right):{1^3} + {2^3} + {3^3} + ........... + {n^3} = {\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}[/tex]
যখন n = 1, তখন
[tex]S\left( 1 \right):{1^3} = {\left[ {\frac{{1 \times \left( {1 + 1} \right)}}{2}} \right]^2}[/tex]
দেখা যাচ্ছে [tex]{\left[ {\frac{{1 \times \left( {1 + 1} \right)}}{2}} \right]^2} = {\left[ {\frac{2}{2}} \right]^2} = 1 = {1^3}[/tex]
অতএব n = 1 এর জন্য বিবৃতিটি সত্য ।
আবার মনে করি n = m এর জন্য S(n) সত্য । তাহলে
[tex]{1^3} + {2^3} + {3^3} + ......................... + {m^3} = {\left[ {\frac{{m\left( {m + 1} \right)}}{2}} \right]^2}[/tex] হবে ।
এখন আমাদের প্রমান করতে হবে m + 1 এর জন্য বিবৃতিটি সত্য । অর্থাৎ
[tex]{1^3} + {2^3} + {3^3} + ......................... + {m^3} + {\left( {m + 1} \right)^3} = {\left[ {\frac{{\left( {m + 1} \right)\left( {m + 1 + 1} \right)}}{2}} \right]^2}[/tex]
এখন [tex]\begin{array}{l}
{1^3} + {2^3} + {3^3} + ......................... + {m^3} + {\left( {m + 1} \right)^3}\\
= {\left[ {\frac{{m\left( {m + 1} \right)}}{2}} \right]^2} + {\left( {m + 1} \right)^3}\\
= {\left( {m + 1} \right)^2}\left[ {\frac{{{m^2}}}{4} + m + 1} \right]\\
= \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4}\left[ {{m^2} + 4m + 4} \right]\\
= \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4}{\left( {m + 2} \right)^2}\\
= {\left[ {\frac{{\left( {m + 1} \right)\left( {m + 1 + 1} \right)}}{2}} \right]^2}
\end{array}[/tex]
অতএব দেখা যাচ্ছে S(m) সত্য হলে S(m+1) সত্য হবে ।
যেহেতু S(1) সত্য এবং S(m) সত্য হলে S(m +1) সত্য সুতরাং গাণিতিক আরোহণ তত্ত্ব অনুযায়ী S(n) সত্য যখন [tex]n \in N[/tex] অর্থাৎ
[tex]{1^3} + {2^3} + {3^3} + ........... + {n^3} = {\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}[/tex]
*****
- 3576 views