অষ্টম অধ্যায় : অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion )

Submitted by arpita pramanik on Wed, 06/01/2011 - 18:25

অনুপাত ও সমানুপাত ( Ratio and Proportion )

 

অনুপাত ( Ratio ): -  পাটিগণিতে দুটি বাস্তব সংখ্যার অনুপাতকে একটি ভগ্নাংশের আকারে প্রকাশ করা যায় । ভগ্নাংশের লব ও হর কে যথাক্রমে অনুপাতের পূর্বপদ ( Antecedent ) ও উত্তরপদ ( Consequent ) বলে । a ও b রাশির দুটির অনুপাতকে a : b  আকারে লেখা হয়, এবং পড়া হয় " a অনুপাত b " ( a is to b ) .

 তাহলে দেখা যাচ্ছে, [tex] a : b = \frac{a}{b}[/tex] [b ≠ 0]

[অনুপাতের দুটি পদের মধ্যে গ.সা.গু যেন 1হয়  অর্থাৎ অনুপাতকে সবসময় সর্বনিম্ন আকারে প্রকাশ করা হয় । ]

 অনুপাতের দুটি পদ সমান হতে পারে আবার নাও হতে পারে । যদি সমান হয়, যেমন a : a তাহলে তাকে বলে সাম্যানুপাত ( Ratio of equality ) । আর যদি অসমান হয় ,যেমন b : c তাহলে তাকে বলে বৈষম্যানুপাত ( Ratio of inequality ) । 

 

গুরু অনুপাত ( Ratio of greater inequality ) ও লঘু অনুপাত ( Ratio of less inequality ):-

যেখানে পূর্বপদের মান উত্তরপদের মানের চেয়ে বড়ো  (a : b, a > b অর্থাৎ [tex]\frac{a}{b} > 1[/tex]) হয়, সেখানে অনুপাতকে গুরু অনুপাত ( Ratio of greater inequality ) বলে । আর পূর্বপদের মান উত্তরপদের চেয়ে ছোট (c : d, c < d অর্থাৎ [tex]\frac{a}{b} < 1[/tex] ) হলে তাকে লঘু অনুপাত ( Ratio of less inequality ) বলে ।

[ কোনো  অনুপাতের পদ দুটিকে শূন্য ব্যতীত একই সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের কোন পরিবর্তন  হয় না ]

 

ব্যস্ত-অনুপাত ( Inverse ratio ):-

দুটি অনুপাতের মধ্যে যদি প্রথমটির পূর্বপদ দ্বিতীয়টির উত্তরপদের সমান হয় এবং দ্বিতীয়টির পূর্বপদ প্রথমটির উত্তরপদের সমান হয়, তাহলে একটিকে অপরটির ব্যস্ত-অনুপাত ( Inverse ratio ) বলে । 

যেমন a : b এর ব্যস্ত-অনুপাত হবে b : a ।

[ব্যস্ত-অনুপাতে দুটি অনুপাতকে ভগ্নাংশের আকারে প্রকাশ করলে ওরা পরস্পরের অন্যোন্যক  হবে ]

 

যৌগিক বা মিশ্র-অনুপাত ( Composition of ratio ):

দুই বা  ততোধিক অনুপাতের পূর্বপদগুলির এবং উত্তরপদগুলির গুণফলকে অনুপাতের আকারে প্রকাশ করলে যে অনুপাত পাওয়া যায় তাকে  যৌগিক বা মিশ্র-অনুপাত ( Composition of ratio ) বলে । 

যেমন, a : b, c : d এবং  e : f অনুপাতের যৌগিক বা মিশ্র-অনুপাত হবে a x c x e : b x d x f ।

 

 

সমানুপাত ( Proportion ): - দুটি অনুপাত পরস্পর সমান হলে তাদের সমানুপাত বলে । যেমন 4 টাকা : 6 টাকা = 2 : 3; আবার 8 গ্রাম : 12 গ্রাম = 2 : 3; সুতরাং 4 টাকা : 6 টাকা ও 8 গ্রাম : 12 গ্রাম হলো সমান অনুপাত এদেরকে সমানুপাত বলে । সমানুপাতের পদগুলিকে সমানুপাতী বলে । a : b = c : d এখানে a, b, c এবং d কে সমানুপাতী বলে । সমানুপাতকে a : b : : c : d আকারে প্রকাশ করা হয়.সমানুপাতের প্রথম ও চতুর্থ পদকে বলা হয় প্রান্তীয় পদ ( extremes or end-terms ) এবং মাঝের পদগুলিকে বলে মধ্যপদ ( means or middle terms )। এখানে a এবং d কে বলে প্রান্তীয় পদ ও  b এবং c কে  বলে মধ্যপদ । আবার d কে a, b, c এর চতুর্থ সমানুপাতী বলে । 

 

ক্রমিক সমানুপাতী ( Continued Proportion):

যদি a : b :: b : c হয় অর্থাৎ [tex]\frac{a}{b} = \frac{b}{c}[/tex] হয় তবে a, b, c কে ক্রমিক সমানুপাতী ( Continued Proportion) বলে । b কে a ও c এর মধ্য সমানুপাতী ( Mean Proportional ) বলে । 

এখন দেখা যাচ্ছে a , b ও c ক্রমিক সমানুপাতে থাকবে যদি তাদেরকে [tex]ac = {b^2}[/tex] আকারে থাকে । অর্থাৎ তিনটি পদ ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রথম ও তৃতীয় পদের গুণফল মধ্য পদের বর্গের সমান হয় । 

[তিনটির অধিক পদও ক্রমিক সমানুপাতী হতে পারে । যদি [tex]\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}[/tex] হয় তবে a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী । ]

 

সমানুপাতের কয়েকটি প্রয়োজনীয় ধর্ম ( Some Important Properties of Proportion ) :

(১) একান্তর প্রক্রিয়া ( Alter nendo ):

a : b = c : d হলে, a : c = b : d হবে 

প্রমাণ  : 

[tex]\begin{array}{l}
a:b = c:d\\
 \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\\
 \Rightarrow \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} = \frac{c}{d} \times \frac{b}{c}\\
 \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}
\end{array}[/tex] 

[ প্রমাণিত ]

(২) বিপরীত বা ব্যস্ত-প্রক্রিয়া ( Invertendo )

a : b = c : d হলে, b : a = d : c হবে 

প্রমাণ  :

[tex]\frac{a}{b} = \frac{c}{d}[/tex]

1. উভয়পক্ষে [tex]\frac{a}{b}[/tex] এবং [tex]\frac{c}{d}[/tex] দিয়ে ভাগ করে পাই,

[tex]\begin{array}{l}
1 \div \frac{a}{b} = 1 \div \frac{c}{d}\\
 \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{d}{c}
\end{array}[/tex]

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{d}{c}\\
\therefore a:b = c:d \Rightarrow b:a = d:c
\end{array}[/tex]

[ প্রমাণিত ]

(৩) যোগ প্রক্রিয়া ( Componendo )

 a : b = c : d হলে , ( a + b ) : b = ( c + d ) : d হবে। 

প্রমাণ : 

[tex]\begin{array}{l}
a:b = c:d\\
 \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\\
 \Rightarrow \frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1\\
 \Rightarrow \frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}\\
 \Rightarrow (a + b):b = (c + d):d
\end{array}[/tex]

[ প্রমাণিত ]

(৪) ভাগ প্রক্রিয়া ( Dividendo )

a : b = c : d হলে, ( a - b ) : b = ( c - d ) : d হবে। 

প্রমাণ :

[tex]\begin{array}{l}
a:b = c:d\\
 \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\\
 \Rightarrow \frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1\\
 \Rightarrow \frac{{a - b}}{b} = \frac{{c - d}}{d}\\
 \Rightarrow (a - b):b = (c - d):d
\end{array}[/tex]

[প্রমাণিত ]

(৫) যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া ( Componendo  and Dividendo )

a : b = c : d হলে, ( a + b ) : ( a - b ) = ( c + d ) : ( c - d ) হবে 

প্রমাণ :  

[tex]{a:b = c:d}[/tex]

[tex]{\Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}}[/tex] [যোগ ও ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই ]

[tex]{\Rightarrow \frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + d}}{{c - d}}}[/tex]

[tex]{\Rightarrow (a + b):(a - c) = (c + d):(c - d)}[/tex]

 

[প্রমাণিত ]

বিকল্প প্রমাণ :

মনে করি 

[tex]\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k[/tex]

অতএব a = bk এবং c = dk

এবার 

[tex]\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{bk + b}}{{bk - b}} = \frac{{k + 1}}{{k - 1}}[/tex]

আবার 

[tex]\frac{{c + d}}{{c - d}} = \frac{{dk + d}}{{dk - d}} = \frac{{k + 1}}{{k - 1}}[/tex]

[tex]\therefore \frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + d}}{{c - d}}[/tex]

(৬) সংযোজন প্রক্রিয়া ( Addendo )

a : b = c : d = e : f হলে, প্রতিটি অনুপাতের মান ( a + c + e ) : ( b+ d + f ) হবে, অর্থাৎ 

[tex]\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}}[/tex]

সাধারণভাবে 

[tex]\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = ......... = \frac{{a + c + e + ........}}{{b + d + f + .......}}[/tex]

প্রমাণ :

মনে করি 

[tex]\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k[/tex]

অতএব  a = bk , c = dk , e = fk

এবার 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{bk + dk + fk}}{{b + d + f}} = \frac{{k(b + d + f)}}{{(b + d + f)}} = k\\
\therefore \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}}
\end{array}[/tex]

( প্রমাণিত )

মন্তব্য : 

[tex]\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = .......... = \frac{{a + c + e + .........}}{{b + d + f + ........}},[b,d,f,....... \ne 0][/tex]

 

 

 

Comments

Related Items